雑談学園入試問題第625問目

3 ：へーちょ名無しさん：2005/04/24(日) 23:18 ID:1XqGxzRI

*****5^(n+1)+6^(2n-1)が31の倍数であることの数学的帰納法による証明が>>3をゲット！*****

n=k+1 のとき与式は
5^(k+2) + 6^(2k+1)　　　　　　　　　　　　　　　　>>2　●N個、○N個の合計2N個の玉がある。
である。この式を変形すると　　　　　　　　　　　　　　これらすべてを円形に並べる並べ方の総数を求めよ。
5*5^(k+1) + 36*6^(2k-1)　　　　　　　　　　　　>>4　∫[0≦x≦1]x(log(x))^2dx　を求めよ。
となる。この式の5^(k+1)に　　　　　　　　　　　>>5　レムニスケート曲線　x^2+y^2=a√(x^2-y^2) (a>0)　上の任意の点（ｘ、ｙ）
5^(k+1) + 6^(2k-1) = 31m　　　　　　　　　　　　　　　での接線の方程式を微分計算により求めよ。
より得られる　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>6　f(t)=e^(-t)sinwt　をラプラス変換せよ。
5^(k+1) = 31m - 6^(2k-1)　　　　　　　　　　　　>>7　正多面体が4,6,8,12,20の五つしかないことを証明せよ。
を代入する。すると与式は　　　　　　　　　　　>>8　U_n(cosθ)=sin((n+1)θ)/sinθ　とし、母関数展開、
31m*5 + 31*6^(2k-1) = 31*[5m + 6^(2k-1)]　　　　1/(1-2xξ+ξ^2)=Σ[n=0〜∞](U_n(x)ξ^n)　を証明せよ。
となる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>9　D=((X､Y)∈R^2|1<X､0<Y<X^α
よって数学的帰納法により、　　　　　　　　　　　　　0<α<1　ならば次の広義積分は収束することをしめせ。
すべての自然数nの値において　　　　　　　　　　　I=∬1/x^2+Y^2　dxdy
与式が正しいことが示せた。　　　　　　　　　>>10　0以上の実数x,y,zが　x+y^2+z^3=3　を満たしている
証明終　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　L=x+y+z　とおくときLの最小値mが　m<(3/2)　であることを示せ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>11　5+3=x　xを求めよ。